Эллиптическое уравнение

Гармоническая функция на кольце — решение уравнения Лапласа

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Определение

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции [math]\displaystyle{ u : R^n \rightarrow R }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \frac{\partial ^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k \frac{\partial u}{\partial x_k} + c u = f(x_1,\ldots , x_n) }[/math]

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: [math]\displaystyle{ a_{ij} = a_{ji} }[/math]. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

[math]\displaystyle{ \left ( \nabla A \nabla ^T \right )u + \mathbf{b} \cdot \nabla u + c u = f(x_1,\ldots , x_n) }[/math],

где [math]\displaystyle{ A = A^T }[/math].
Матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] называется матрицей главных коэффициентов.
Если все собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу.
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:

[math]\displaystyle{ Lu = f(x_1,\ldots , x_{n}) }[/math],

где [math]\displaystyle{ L }[/math] — эллиптический оператор.

Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.

Решение эллиптических уравнений

Для аналитического решения эллиптических уравнений при заданных граничных условиях применяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.

Примеры эллиптических уравнений

В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.

• Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона, описывают различные стационарные физические поля.
• Стационарный аналог уравнения Шрёдингера, когда предполагается гармоническая зависимость от времени.
• Уравнения, получаемые из уравнений Максвелла. Такие получаются, из предположения, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Одним из уравнений, получаемых в таких предположениях является уравнение Гельмгольца.
• Уравнение Стокса — стационарный аналог системы уравнений Навье-Стокса, для устоявшегося течения.

А также многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.

См. также

• Задача Дирихле
• Условия Коши — Римана
• Параболическое уравнение
• Гиперболическое уравнение